CNC - PROGRAMACIÓN (Parte II) - Funciones lineales (II)

Pendiente:

Habíamos dicho en la página anterior que la pendiente estaba dada por el valor de a, y el valor de b, no dice nada respecto a este tema, lo único que indica es el punto por el cual la función corta al eje y.

Entonces, para estudiar la pendiente un poco más detalladamente, lo que haremos será suponer que b=0, y ahora resulta que...

Definición: La pendiente es la Ordenada en la abscisa. Perdón por la definición tan extensa, pero como veo que quedarán mil dudas, lo que haremos será tomar un ejemplo para aclararlo, entonces, vamos a graficar la siguiente función

y = 2/3 x      pero la vamos a ordenar un poco...

Si miras atentamente, pareciera que alguien se nos comió el término b, bueno, no, simplemente es b=0 y es por eso que no aparece, esto quiere decir que la función pasa por el origen, y siguiendo la definición, la abscisa es 3 (3 en x), y la ordenada en 3, es 2 (2 en y sobre el punto 3), ahora lo graficaremos lentamente, bueno, actualiza la página.

Te imaginas lo que pasaría se b=2, pues que la misma función pasaría por el eje y en el punto 2, y no por el origen, esto es como agarrar el gráfico de la función y subirlo dos puntos hacia arriba, jejeje no creo que pueda subirla hacia abajo... jajajaja

Ahora haremos un par de observaciones en la función que acabamos de graficar...

El hecho de graficar o de desplazarnos desde el origen 3 puntos a la derecha (sobre el eje x), es porque ese 3 es positivo, y los valores positivos de x están de ese lado. Lo mismo ocurre con 2 en el eje y, puesto que 2 es positivo y como los valores de y se encuentran de ese lado o sea se incrementa hacia arriba, pues simplemente subimos, sería algo así, mira...

Como b=0, desplázate desde el origen 3 puntos a la derecha (por ser positivo) y 2 puntos hacia arriba (por ser positivo)

"... y en la historia de las matemáticas, esto facilitó mucho el gráfico de funciones lineales". Bueno, pero existen otras posibilidades, sólo piensa lo que ocurriría si ese 2/3 fuera negativo, fácil... Observa...

Por la regla de los signos, es lo mismo tomar el primer caso que el segundo, y gráficamente llegamos a trazar la misma función, la única diferencia es que lo hicimos por dos caminos distintos.

Algo muy importante para resaltar y tener en cuenta de ahora en adelante, es que cualquiera sea el valor de la pendiente, el cociente entre el numerador y denominador será siempre constante, independientemente de que hagas y/x o al revés x/y. Si mal no recuerdo esto se debe a las leyes de las muy conocidas... Razones y Proporciones.

Hay otras ecuaciones estrechamente relacionadas al gráfico de funciones lineales, que son justamente las que veremos de ahora en más...

Ecuación de la recta que pasa por un punto

Hasta ahora hemos graficado la función conociendo la pendiente y suponiendo que b=0, es decir, siempre pasando por el origen, pero que ocurre cuando no conocemos el valor de b, bueno, lo que necesitamos es otro dato, que bien podría ser un punto P cualquiera, ubicado en una coordenada conocida, por ejemplo...

Una función cuya pendiente es 2 y el punto P está dado por las coordenadas (2,1) lo cual se puede expresar de esta forma...

a=2 ; P(x=2,y=1)

El punto P no es problema, lo que necesitamos es el segundo punto, pero lo podemos sacar de la pendiente, y recién vimos que la pendiente me indica desplazamientos en cada eje, ahora mira...

Dado que
entonces
o lo que es lo mismo
o mejor todavía	y=2 ; x=1

Bien, estos son los desplazamientos que debemos realizar, te preguntarás, desde dónde debemos desplazarnos...?, muy sencillo, lo haremos desde el punto P, comenzamos...? no olvides actualizar la página...

Ok, voy a suponer que se comprendió con absoluta claridad, pero el título decía "Ecuación de la recta que pasa por un punto". En realidad la ecuación se la utiliza cuando se desea obtener la función que dio origen a esta gráfica, para de ese modo poder determinar un punto cualquiera en la recta que representa la función, bien, aquí la tienes...

Los valores x₀,y₀, están referidos al punto P, mientras que los valores x,y están referidos a ese punto cualquiera, perteneciente a dicha función.

Si prestas atención, luego de hacer un pasaje de términos, el cociente (y - y₀) / (x - x₀) da como resultado la pendiente a

Esto sí que es importantísimo para nuestro objetivo, o para nuestra máquina CNC. Pero aún nos queda algo más...

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Con todo lo que vimos hasta ahora, ya estamos en condiciones de asumir que, si conoces un punto P, de una función lineal, y conoces la pendiente a de esa función, significa que conoces también el punto Q, que es el segundo punto con el cual ya puedes trazar la recta de la función, te habrás percatado de eso...???, bueno, aquí lo verás mejor...

Es decir que si conoces esos dos puntos P y Q, sólo tienes que marcarlos y trazar la línea que represente esa función, y ya terminaste...!!! que tantos secretos...!!!

Bueno, pero hay un pequeño detalle, y es que... qué ocurre si deseas conocer la pendiente de esa función que acabas de graficar...???

Como sabrás, o como ves en el gráfico, la pendiente a está dada por el cociente entre los segmentos verde y azul, a los cuales les podríamos llamar Delta y y Delta x respectivamente...

El arreglo que acabamos de hacer, es para que más o menos tengas una idea del origen de la ecuación que viene a continuación, y que se la conoce como...

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Hasta aquí de Matemáticas, podríamos seguir estudiando las funciones lineales, y quizás lo hagamos más adelante, pero por ahora ya está.

Huuuy...!!!, me olvidaba de un pequeño concepto, conoces lo que es el Valor absoluto...? En pocas palabras y para la utilidad que le vamos a dar... "el Valor Absoluto de un Número, es el mismo número, sin considerar el signo", por ejemplo...

El Valor Absoluto de 5 es 5, y el Valor Absoluto de -5 es 5, se entendió...??? y ahora en símbolos...

  |5| = 5
|-5| = 5

Fácil, verdad...? (...ya veo que mis colegas me van a querer matar cuando lean esto...!!!). Bueno, ahora sí, ya basta, pasemos a lo que más nos interesa. Programación en Serio...!!!

R-Luis...